Weiterbildung – Online lernen – Kaufmännisches Rechnen – Verminderter Grundwert, Prozentrechnung, Formel, Dreisatz, Beispiele und Übungen
Sie lernen hier, wie Sie einen verminderten Grundwert in der Prozentrechnung erkennen und berechnen. Besonders wichtig ist diese Rechnung, wenn ein bereits reduzierter Wert bekannt ist und Sie den ursprünglichen Grundwert von 100 Prozent ermitteln sollen. Typische Beispiele sind Rabatte, Preisnachlässe, Abschläge oder andere prozentuale Minderungen.
Sie erhalten auf der Bildungsbibel die passende Formel, eine ausführliche Herleitung, den Rechenweg mit dem Dreisatz und mehrere Beispiele. Zusätzlich lernen Sie die Vorwärtsrechnung kennen, erfahren den Unterschied zur normalen Grundwertberechnung sowie zum vermehrten Grundwert und können Ihr Wissen mit kostenlosen Übungen vertiefen.
Das Wichtigste zur Rechnung im Überblick
- Der ursprüngliche Grundwert entspricht immer 100 Prozent.
- Wird dieser Wert um einen Prozentsatz vermindert, bleibt ein Restwert unter 100 Prozent.
- Bei 20 Prozent Minderung entsprechen dem neuen Wert noch 80 Prozent des ursprünglichen Grundwertes.
- Ist der reduzierte Wert bekannt und der ursprüngliche Wert gesucht, liegt eine Rückwärtsrechnung vor.
- Die Formel lautet: G = Gv × 100 ÷ (100 – p).
- Alternativ können Sie mit dem Restprozentsatz oder einem Dezimalfaktor rechnen.
- Auch der Dreisatz eignet sich sehr gut für diese Aufgabenart.
- Bei der Kontrolle muss der ursprüngliche Wert nach der prozentualen Minderung wieder genau den bekannten Endwert ergeben.
Tipp der Bildungsbibel: Schreiben Sie bei einer Rückwärtsrechnung zuerst auf, wie viel Prozent der bekannte Endwert noch darstellt. Bei 15 Prozent Rabatt sind es 85 Prozent, bei 20 Prozent Rabatt 80 Prozent und bei 30 Prozent Rabatt 70 Prozent. Erst danach setzen Sie die Zahlen in die Formel ein.
Was bedeutet verminderter Grundwert?
Ein verminderter Grundwert entsteht, wenn ein ursprünglicher Wert von 100 Prozent um einen bestimmten Prozentsatz reduziert wird. Wird beispielsweise ein Preis von 100 Euro um 20 Prozent gesenkt, beträgt der neue Wert 80 Euro. Die 80 Euro entsprechen jetzt 80 Prozent des ursprünglichen Preises.
Die besondere Aufgabenstellung entsteht jedoch meistens in umgekehrter Richtung: Der reduzierte Wert ist bekannt, der ursprüngliche Grundwert von 100 Prozent dagegen unbekannt.
Beispiel:
- Nach einem Rabatt von 20 Prozent kostet eine Ware 80 Euro.
- Die 80 Euro entsprechen deshalb 80 Prozent.
- Gesucht wird der ursprüngliche Preis, also 100 Prozent.
Genau bei solchen Aufgaben wird der verminderte Grundwert als Ausgangspunkt für die Rückrechnung verwendet.
Warum entspricht der bekannte Wert weniger als 100 Prozent?
Der ursprüngliche Grundwert bleibt mathematisch die Bezugsgröße von 100 Prozent. Wird davon beispielsweise ein Rabatt von 20 Prozent abgezogen, bleiben 80 Prozent übrig.
Es gilt:
100 % – 20 % = 80 %
Der verminderte Grundwert entspricht in diesem Fall also 80 Prozent des ursprünglichen Grundwertes.
Wichtig ist diese sprachliche Genauigkeit: Nicht der ursprüngliche Grundwert selbst „ist weniger als 100 Prozent“. Vielmehr entspricht der nach einer Minderung entstandene Wert nur noch einem Anteil unter 100 Prozent des ursprünglichen Grundwertes.
Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz unterscheiden
Bevor Sie einen verminderten Grundwert berechnen, sollten Sie die drei grundlegenden Größen der Prozentrechnung sicher unterscheiden können.
| Größe | Zeichen | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Grundwert | G | ursprünglicher Gesamtwert = 100 % | 100 € |
| Prozentsatz | p | Anteil in Prozent | 20 % Rabatt |
| Prozentwert | W | konkreter Anteil des Grundwertes | 20 € Rabattbetrag |
| verminderter Wert | Gv | Grundwert nach Abzug des Prozentwertes | 80 € |
Im Beispiel gilt somit:
- 100 Euro = ursprünglicher Grundwert,
- 20 Prozent = Prozentsatz,
- 20 Euro = Prozentwert beziehungsweise Rabattbetrag,
- 80 Euro = verminderter Grundwert.
Vorwärtsrechnung und Rückwärtsrechnung unterscheiden
Beim Thema verminderter Grundwert gibt es zwei unterschiedliche Fragestellungen. Diese sollten Sie unbedingt auseinanderhalten.
Vorwärtsrechnung: neuer Wert gesucht
Der ursprüngliche Grundwert und die prozentuale Minderung sind bekannt. Gesucht wird der Wert nach der Minderung.
Beispiel:
Eine Ware kostet ursprünglich 200 Euro. Der Preis wird um 25 Prozent reduziert. Wie hoch ist der neue Preis?
Es bleiben 75 Prozent:
200 € × 75 ÷ 100 = 150 €
Der verminderte Grundwert beträgt 150 Euro.
Rückwärtsrechnung: ursprünglicher Wert gesucht
Der verminderte Grundwert und der Prozentsatz der Minderung sind bekannt. Gesucht wird der ursprüngliche Grundwert von 100 Prozent.
Beispiel:
Eine Ware kostet nach 25 Prozent Rabatt noch 150 Euro. Wie hoch war ihr ursprünglicher Preis?
Die 150 Euro entsprechen 75 Prozent:
150 € × 100 ÷ 75 = 200 €
Diese Rückwärtsrechnung ist die typische Aufgabenform, wenn aus einem verminderten Grundwert der ursprüngliche Grundwert ermittelt werden soll.
Formel für den verminderten Grundwert
Ist der reduzierte Endwert bekannt und der ursprüngliche Wert von 100 Prozent gesucht, verwenden Sie folgende Formel:
G = Gv × 100 ÷ (100 – p)
Dabei ist G der ursprüngliche Grundwert, Gv der verminderte Grundwert und p der Prozentsatz, um den der ursprüngliche Wert vermindert wurde.
Formel Schritt für Schritt verstehen
Die Formel wirkt zunächst komplizierter als die normale Grundwertformel. Tatsächlich steckt dahinter eine sehr einfache Überlegung.
Angenommen, ein Preis wurde um 20 Prozent gesenkt. Dann sind vom ursprünglichen Preis noch übrig:
100 % – 20 % = 80 %
Der bekannte verminderte Grundwert entspricht also 80 Prozent. Wenn 80 Prozent bekannt sind und 100 Prozent gesucht werden, verwenden Sie die normale Grundwertrechnung:
Grundwert = bekannter Wert × 100 ÷ Restprozentsatz
Damit entsteht:
G = Gv × 100 ÷ (100 – p)
Die besondere Formel ist somit nichts anderes als eine normale Prozentrechnung, bei der zunächst der verbleibende Prozentsatz bestimmt wird.
Restprozentsatz berechnen
Der wichtigste Zwischenschritt ist häufig der Restprozentsatz. Dieser zeigt, wie viel Prozent nach der Minderung noch vorhanden sind.
Die Formel lautet:
Restprozentsatz = 100 % – Minderung in %
| Minderung | Restprozentsatz |
|---|---|
| 5 % | 95 % |
| 10 % | 90 % |
| 15 % | 85 % |
| 20 % | 80 % |
| 25 % | 75 % |
| 30 % | 70 % |
| 40 % | 60 % |
| 50 % | 50 % |
Wenn Sie einen verminderten Grundwert rückwärts berechnen, teilen Sie den bekannten Endwert letztlich durch genau diesen verbleibenden Anteil.
Mit dem Prozentfaktor rechnen
Statt mit Prozentzahlen können Sie auch mit einem Dezimalfaktor rechnen. Bei 20 Prozent Minderung bleiben 80 Prozent beziehungsweise der Faktor 0,80.
Die Vorwärtsrechnung lautet:
Gv = G × 0,80
Die Rückwärtsrechnung lautet entsprechend:
G = Gv ÷ 0,80
Allgemein gilt:
Faktor = 1 – p/100
und damit:
G = Gv ÷ (1 – p/100)
Diese Darstellung ist mathematisch identisch mit der Formel G = Gv × 100 ÷ (100 – p).
Beispiel: ursprünglichen Verkaufspreis berechnen
Eine Ware wurde im Verkaufspreis um 20 Prozent gesenkt und kostet jetzt 59 Euro. Wie hoch war der ursprüngliche Verkaufspreis?
Zunächst ordnen Sie die Angaben richtig zu:
| Verminderter Wert | 59,00 € |
|---|---|
| Minderung | 20 % |
| Restprozentsatz | 80 % |
| Ursprünglicher Grundwert | gesucht |
Nun setzen Sie die Werte in die Formel ein:
G = 59 × 100 ÷ (100 – 20)
G = 59 × 100 ÷ 80
G = 73,75 €
Antwort: Der ursprüngliche Verkaufspreis betrug 73,75 Euro.
Ergebnis mit einer Probe kontrollieren
Nach der Berechnung sollten Sie kontrollieren, ob der ermittelte Grundwert tatsächlich zum verminderten Grundwert führt.
20 Prozent von 73,75 Euro sind:
73,75 × 20 ÷ 100 = 14,75 €
Nun ziehen Sie den Rabatt ab:
73,75 € – 14,75 € = 59,00 €
Der bekannte verminderte Grundwert von 59 Euro wird wieder erreicht. Damit ist die Rückwärtsrechnung korrekt.
Verminderten Grundwert mit dem Dreisatz berechnen
Sie müssen die Formel nicht zwingend auswendig lernen. Ein verminderter Grundwert lässt sich sehr anschaulich mit dem Dreisatz auf den ursprünglichen Wert zurückrechnen.
Im Beispiel wurden 20 Prozent abgezogen. Somit entsprechen 59 Euro noch 80 Prozent.
- 80 % = 59,00 €
- 1 % = 59,00 € ÷ 80 = 0,7375 €
- 100 % = 0,7375 € × 100 = 73,75 €
Als verkürzten Dreisatz können Sie direkt rechnen:
59 × 100 ÷ 80 = 73,75 €
Formel und Dreisatz führen zum gleichen Ergebnis. Welche Methode Sie verwenden, hängt davon ab, welcher Rechenweg für Sie leichter nachvollziehbar ist.
Was bedeutet „im Hundert rechnen“?
Im kaufmännischen Rechnen wird die Rückwärtsrechnung aus einem verminderten Wert häufig als „im Hundert rechnen“ bezeichnet. Ausgangspunkt ist ein Wert, der nach einer Minderung nur noch beispielsweise 98 Prozent, 90 Prozent oder 80 Prozent des ursprünglichen Grundwertes darstellt.
Sie rechnen von diesem verminderten Prozentsatz zurück auf 100 Prozent.
Beispiel:
- nach 2 % Abzug = 98 %,
- nach 5 % Abzug = 95 %,
- nach 10 % Abzug = 90 %,
- nach 20 % Abzug = 80 %.
Ein verminderter Grundwert wird deshalb im Rahmen solcher kaufmännischen Aufgaben häufig mit einer Rechnung „im Hundert“ verbunden.
Beispiel mit 10 Prozent Rabatt
Nach einem Rabatt von 10 Prozent kostet ein Artikel noch 225 Euro. Gesucht ist der ursprüngliche Preis.
Nach 10 Prozent Rabatt bleiben:
100 % – 10 % = 90 %
Der verminderte Grundwert von 225 Euro entspricht somit 90 Prozent.
G = 225 × 100 ÷ 90
G = 250 €
Der ursprüngliche Preis betrug 250 Euro.
Beispiel mit 15 Prozent Rabatt
Ein Produkt kostet nach einer Preisreduzierung von 15 Prozent noch 102 Euro. Wie hoch war der Preis vorher?
Zuerst bestimmen Sie den Restprozentsatz:
100 % – 15 % = 85 %
Nun rechnen Sie:
G = 102 × 100 ÷ 85 = 120 €
Der verminderte Grundwert beträgt 102 Euro, der ursprüngliche Grundwert 120 Euro.
Beispiel mit 30 Prozent Preisnachlass
Nach einer Reduzierung um 30 Prozent beträgt der Verkaufspreis noch 350 Euro.
Es bleiben:
100 % – 30 % = 70 %
Der verminderte Grundwert entspricht also 70 Prozent.
G = 350 × 100 ÷ 70 = 500 €
Vor dem Preisnachlass kostete die Ware 500 Euro.
Beispiel aus dem kaufmännischen Rechnen: Skonto
Auch bei bestimmten Aufgaben aus der Handelskalkulation begegnet Ihnen eine ähnliche Rückwärtsrechnung. Angenommen, ein Kunde zahlt nach Abzug von 2 Prozent Skonto noch 980 Euro. Welcher Betrag entspricht 100 Prozent?
Nach 2 Prozent Abzug bleiben 98 Prozent:
G = 980 × 100 ÷ 98
G = 1.000 €
Der verminderte Grundwert von 980 Euro entspricht somit 98 Prozent des Ausgangswertes von 1.000 Euro.
In kaufmännischen Kalkulationsschemata ist dabei immer darauf zu achten, auf welcher Bezugsbasis ein Rabatt, Skonto oder Zuschlag angegeben ist. Prozentuale Veränderungen dürfen nicht automatisch miteinander addiert oder voneinander abgezogen werden, wenn sie sich auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.
Beispiel aus dem Alltag: reduzierter Verkaufspreis
Ein Möbelstück wird im Schlussverkauf mit 25 Prozent Rabatt angeboten und kostet danach 675 Euro. Welcher Preis stand vorher auf dem Preisschild?
Der neue Preis entspricht:
100 % – 25 % = 75 %
Der verminderte Grundwert von 675 Euro entspricht also 75 Prozent.
G = 675 × 100 ÷ 75 = 900 €
Der ursprüngliche Verkaufspreis betrug 900 Euro.
Warum darf man den Rabatt nicht einfach wieder addieren?
Hier entsteht einer der häufigsten Fehler der Prozentrechnung. Ein Produkt wurde beispielsweise um 20 Prozent reduziert und kostet anschließend 80 Euro. Manche Lernende rechnen:
80 € + 20 % von 80 € = 96 €
Das ist falsch. Die ursprünglichen 20 Prozent wurden nicht von 80 Euro, sondern vom unbekannten ursprünglichen Grundwert berechnet.
Richtig ist:
80 € ÷ 0,80 = 100 €
Der verminderte Grundwert und der ursprüngliche Grundwert besitzen unterschiedliche Bezugsbasen. Genau deshalb kann der ursprüngliche Wert nicht durch einfaches Addieren desselben Prozentsatzes zurückgewonnen werden.
20 Prozent runter und 20 Prozent wieder hoch sind nicht gleich
Ein verwandter Denkfehler entsteht bei aufeinanderfolgenden prozentualen Veränderungen.
Ausgangswert:
100 €
20 Prozent weniger:
100 € × 0,80 = 80 €
Anschließend 20 Prozent mehr:
80 € × 1,20 = 96 €
Der Ausgangswert von 100 Euro wird nicht wieder erreicht. Damit 80 Euro wieder auf 100 Euro steigen, ist eine Erhöhung um 25 Prozent erforderlich:
80 € × 1,25 = 100 €
Die Ursache liegt wiederum in der unterschiedlichen Bezugsbasis.
Verminderten Grundwert vorwärts berechnen
Nicht immer ist der reduzierte Wert gegeben. Manchmal kennen Sie den ursprünglichen Grundwert und sollen den verminderten Grundwert erst berechnen.
Dafür gilt:
Gv = G × (100 – p) ÷ 100
oder mit einem Faktor:
Gv = G × (1 – p/100)
Beispiel mit 400 Euro und 15 Prozent Minderung:
Gv = 400 × 85 ÷ 100 = 340 €
Der verminderte Grundwert beträgt 340 Euro.
Vorwärts- und Rückwärtsformel im Vergleich
| Aufgabe | Formel |
|---|---|
| verminderten Wert aus ursprünglichem Wert berechnen | Gv = G × (100 – p) ÷ 100 |
| ursprünglichen Wert aus vermindertem Wert berechnen | G = Gv × 100 ÷ (100 – p) |
| Vorwärtsrechnung mit Faktor | Gv = G × (1 – p/100) |
| Rückwärtsrechnung mit Faktor | G = Gv ÷ (1 – p/100) |
Diese Übersicht hilft Ihnen dabei, den verminderten Grundwert nicht mit dem ursprünglichen Grundwert zu verwechseln.
Normalen, verminderten und vermehrten Grundwert unterscheiden
Im kaufmännischen Rechnen begegnen Ihnen unterschiedliche Varianten der Prozentrechnung. Besonders wichtig ist die Unterscheidung zwischen normalem, vermindertem und vermehrtem Wert.
| Situation | Prozentuale Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| normaler Grundwert | 100 % | ursprünglicher Preis |
| verminderter Grundwert | weniger als 100 % | Preis nach Rabatt |
| vermehrter Grundwert | mehr als 100 % | Wert nach Zuschlag |
Bei einem verminderten Grundwert rechnen Sie beispielsweise von 80 Prozent zurück auf 100 Prozent. Bei einem vermehrten Wert können Sie dagegen von beispielsweise 119 Prozent zurück auf 100 Prozent rechnen.
Wann kommt diese Rechnung in der Praxis vor?
Die Rechnung mit einem verminderten Grundwert ist nicht nur eine theoretische Schulaufgabe. Sie begegnet Ihnen in vielen kaufmännischen und alltäglichen Situationen.
- ursprünglichen Verkaufspreis nach einem Rabatt bestimmen,
- Ausgangswert nach einem Preisnachlass berechnen,
- Wert vor einem prozentualen Abschlag rekonstruieren,
- bestimmte Schritte innerhalb einer Handelskalkulation durchführen,
- Ausgangsgröße nach einer prozentualen Verringerung berechnen,
- Aufgaben in Ausbildung, Berufsschule und kaufmännischer Weiterbildung lösen.
Ein verminderter Grundwert ist deshalb insbesondere für kaufmännische Berufe ein wichtiger Bestandteil der Prozentrechnung.
Signalwörter in Textaufgaben erkennen
Viele Schwierigkeiten entstehen nicht beim Rechnen, sondern beim Erkennen der richtigen Aufgabenart. Bestimmte Formulierungen deuten darauf hin, dass ein verminderter Grundwert vorliegt.
- „nach einem Rabatt von …“
- „nach einer Senkung um …“
- „nach einem Abschlag von …“
- „der reduzierte Preis beträgt …“
- „nach Abzug von …“
- „wie hoch war der ursprüngliche Wert?“
Besonders das Wort „ursprünglich“ ist ein wichtiger Hinweis. Wenn ein neuer, bereits verringerter Wert bekannt ist und der frühere Wert gesucht wird, müssen Sie normalerweise zurück auf 100 Prozent rechnen.
5-Schritte-Schema für jede Aufgabe
- Ausgangssituation erkennen: Wurde ein Wert prozentual vermindert?
- Gesuchte Größe bestimmen: Ist der reduzierte oder der ursprüngliche Wert gesucht?
- Restprozentsatz berechnen: 100 % – Minderung.
- Formel oder Dreisatz anwenden.
- Ergebnis durch Vorwärtsrechnung kontrollieren.
Mit diesem Schema lässt sich ein verminderter Grundwert auch in längeren Textaufgaben relativ sicher erkennen.
Typische Fehler vermeiden
| Fehler | Warum falsch? | Richtige Vorgehensweise |
|---|---|---|
| Rabatt einfach wieder addieren | Der Prozentsatz bezieht sich auf den ursprünglichen Wert. | Auf den Restprozentsatz zurückrechnen. |
| 20 % mit 80 % verwechseln | 20 % sind die Minderung, 80 % der verbleibende Anteil. | 100 – p berechnen. |
| durch den Rabattprozentsatz teilen | Der bekannte Endwert entspricht nicht dem Rabatt. | Durch den verbleibenden Prozentsatz teilen. |
| neuen Wert als 100 % ansehen | Damit wird die ursprüngliche Bezugsbasis verloren. | Endwert dem Restprozentsatz zuordnen. |
| Vorwärts- und Rückwärtsformel verwechseln | Multiplikation und Division führen zu unterschiedlichen Aufgaben. | Zuerst bestimmen, welcher Wert gesucht ist. |
| Prozent und Prozentpunkte verwechseln | Beide Begriffe beschreiben unterschiedliche Veränderungen. | Auf die Aufgabenstellung achten. |
Rabattbetrag und verminderter Grundwert sind nicht dasselbe
Ein weiterer häufiger Fehler besteht darin, den Rabattbetrag mit dem verminderten Grundwert zu verwechseln.
Beispiel mit 200 Euro und 25 Prozent Rabatt:
Rabattbetrag:
200 × 25 ÷ 100 = 50 €
Verminderter Grundwert:
200 € – 50 € = 150 €
Der Rabattbetrag beträgt also 50 Euro, der verminderte Grundwert dagegen 150 Euro.
Prozentwert und reduzierten Endwert unterscheiden
Mathematisch lässt sich der Zusammenhang auch so darstellen:
verminderter Wert = Grundwert – Prozentwert
Der Prozentwert der Minderung wird berechnet mit:
W = G × p ÷ 100
Damit gilt:
Gv = G – W
Setzt man W = G × p/100 ein, ergibt sich wiederum:
Gv = G × (1 – p/100)
Damit lässt sich die Formel für den verminderten Grundwert direkt aus der normalen Prozentrechnung herleiten.
Warum die Faktor-Methode besonders praktisch ist
Bei vielen Aufgaben ist die Faktor-Methode besonders schnell. Sie müssen lediglich den verbleibenden Anteil als Dezimalzahl bestimmen.
| Minderung | Rest | Faktor |
|---|---|---|
| 5 % | 95 % | 0,95 |
| 10 % | 90 % | 0,90 |
| 15 % | 85 % | 0,85 |
| 20 % | 80 % | 0,80 |
| 25 % | 75 % | 0,75 |
| 30 % | 70 % | 0,70 |
Für die Vorwärtsrechnung multiplizieren Sie mit diesem Faktor. Für die Rückwärtsrechnung teilen Sie durch den Faktor.
Bei 20 Prozent Rabatt gilt beispielsweise:
- vorwärts: Grundwert × 0,80,
- rückwärts: verminderter Grundwert ÷ 0,80.
Mehrere Rabatte nacheinander berechnen
Besondere Vorsicht ist geboten, wenn mehrere Preisnachlässe nacheinander gewährt werden. Die Prozentsätze dürfen in der Regel nicht einfach addiert werden, weil sich der zweite Rabatt bereits auf einen verminderten Grundwert bezieht.
Beispiel: Ein Artikel kostet 1.000 Euro. Zuerst werden 20 Prozent Rabatt und anschließend weitere 10 Prozent auf den bereits reduzierten Preis gewährt.
Erste Reduzierung:
1.000 × 0,80 = 800 €
Zweite Reduzierung:
800 × 0,90 = 720 €
Der Endpreis beträgt 720 Euro. Insgesamt beträgt die Verringerung damit 280 Euro beziehungsweise 28 Prozent und nicht 30 Prozent.
Der nach dem ersten Rabatt entstandene verminderte Grundwert bildet nämlich die neue Basis für den zweiten Rabatt.
Rückwärtsrechnung bei mehreren Minderungen
Ist nur der Endpreis nach mehreren aufeinanderfolgenden Minderungen bekannt, muss in umgekehrter Reihenfolge zurückgerechnet werden.
Im vorherigen Beispiel kostet ein Artikel nach 20 Prozent und anschließend 10 Prozent Rabatt noch 720 Euro.
Zuerst rechnen Sie den zweiten Rabatt zurück:
720 ÷ 0,90 = 800 €
Anschließend rechnen Sie vom verminderten Grundwert von 800 Euro auf den ursprünglichen Wert vor dem ersten Rabatt zurück:
800 ÷ 0,80 = 1.000 €
Damit erhalten Sie wieder den ursprünglichen Grundwert von 1.000 Euro.
Prozentuale Minderung aus altem und neuem Wert berechnen
Manchmal sind der ursprüngliche und der neue Wert bekannt, aber der Prozentsatz der Minderung wird gesucht.
Zuerst bestimmen Sie die absolute Minderung:
Minderung = ursprünglicher Wert – neuer Wert
Danach berechnen Sie den Prozentsatz:
p = Minderung × 100 ÷ ursprünglicher Grundwert
Beispiel:
Ein Preis sinkt von 250 Euro auf 200 Euro.
Absolute Minderung:
250 – 200 = 50 €
Prozentuale Minderung:
50 × 100 ÷ 250 = 20 %
Der neue Preis von 200 Euro ist damit ein um 20 Prozent verminderter Grundwert.
Verminderter Grundwert mit dem Taschenrechner
Mit einem normalen Taschenrechner können Sie die Rückwärtsrechnung in einer Zeile durchführen.
Beispiel: Endpreis 340 Euro nach 15 Prozent Rabatt.
340 × 100 ÷ 85 = 400
Alternativ mit dem Faktor:
340 ÷ 0,85 = 400
Beide Rechenwege liefern denselben ursprünglichen Grundwert.
Mit Excel oder einer Tabellenkalkulation rechnen
Auch in Excel, LibreOffice Calc oder einer anderen Tabellenkalkulation können Sie einen verminderten Grundwert schnell zurückrechnen.
Angenommen:
- A2 enthält den reduzierten Wert,
- B2 enthält die Minderung als Zahl 20.
Dann lautet eine mögliche Formel:
=A2*100/(100-B2)
Steht der Rabatt in B2 bereits als echter Prozentwert, also beispielsweise 20 %, können Sie schreiben:
=A2/(1-B2)
Achten Sie darauf, ob eine Tabellenkalkulation den Wert 20 oder den Prozentwert 20 % enthält. Eine falsche Zellformatierung kann sonst zu einem falschen Ergebnis führen.
Plausibilitätsprüfung ohne genaue Rechnung
Bevor Sie ein Ergebnis übernehmen, können Sie mit einigen einfachen Regeln prüfen, ob es überhaupt möglich ist.
- Der ursprüngliche Grundwert muss bei einer positiven Minderung größer sein als der verminderte Grundwert.
- Je größer die Minderung, desto größer muss der Unterschied zwischen ursprünglichem und neuem Wert sein.
- Bei 50 Prozent Rabatt muss der ursprüngliche Wert genau doppelt so hoch wie der Endwert sein.
- Bei nur 1 Prozent Rabatt muss der ursprüngliche Wert nur geringfügig über dem Endwert liegen.
Wenn Sie beispielsweise für einen verminderten Grundwert von 80 Euro nach 20 Prozent Rabatt einen ursprünglichen Wert von 75 Euro berechnen, kann das Ergebnis nicht stimmen: Der ursprüngliche Wert muss höher und nicht niedriger sein.
Übungsbeispiel 1: Rabatt von 20 Prozent
Ein Artikel kostet nach 20 Prozent Rabatt noch 96 Euro. Berechnen Sie den ursprünglichen Preis.
Restprozentsatz:
100 – 20 = 80 %
Rechnung:
96 × 100 ÷ 80 = 120 €
Der ursprüngliche Preis beträgt 120 Euro.
Übungsbeispiel 2: Rabatt von 35 Prozent
Nach 35 Prozent Rabatt beträgt der verminderte Grundwert 260 Euro. Wie hoch war der ursprüngliche Wert?
Restprozentsatz:
100 – 35 = 65 %
Rechnung:
260 × 100 ÷ 65 = 400 €
Der ursprüngliche Grundwert betrug 400 Euro.
Übungsbeispiel 3: Vorwärts rechnen
Ein Preis von 600 Euro wird um 12 Prozent gesenkt. Wie hoch ist der neue Preis?
Es bleiben:
100 – 12 = 88 %
Rechnung:
600 × 88 ÷ 100 = 528 €
Der verminderte Grundwert beträgt 528 Euro.
Übungsbeispiel 4: Prozentsatz bestimmen
Ein Artikel kostete ursprünglich 500 Euro und kostet nach einer Reduzierung noch 425 Euro. Wie hoch ist der Rabatt?
Minderung:
500 – 425 = 75 €
Prozentsatz:
75 × 100 ÷ 500 = 15 %
Der Preis wurde um 15 Prozent gesenkt. Der verminderte Grundwert von 425 Euro entspricht damit 85 Prozent.
Übungsbeispiel 5: Denkfehler erkennen
Nach 25 Prozent Rabatt kostet eine Ware noch 300 Euro. Ein Lernender rechnet:
300 € + 25 % von 300 € = 375 €
Das Ergebnis ist falsch, weil 300 Euro nicht 100 Prozent, sondern 75 Prozent entsprechen.
Richtig lautet:
300 × 100 ÷ 75 = 400 €
Der ursprüngliche Preis betrug 400 Euro.
Übungsbeispiel 6: Mit dem Faktor rechnen
Nach 18 Prozent Preisnachlass beträgt der Endpreis 246 Euro.
Der verbleibende Faktor beträgt:
1 – 0,18 = 0,82
Damit:
246 ÷ 0,82 = 300 €
Der ursprüngliche Grundwert betrug 300 Euro.
Checkliste für die Rückwärtsrechnung
| Prüffrage | Erledigt? |
|---|---|
| Ist ein Wert nach einer prozentualen Minderung angegeben? | □ |
| Ist der ursprüngliche Wert von 100 % gesucht? | □ |
| Prozentsatz der Minderung erkannt? | □ |
| Restprozentsatz 100 – p berechnet? | □ |
| Verminderten Wert korrekt zugeordnet? | □ |
| Passende Formel oder Dreisatz gewählt? | □ |
| Nicht einfach den Prozentsatz zum Endwert addiert? | □ |
| Ergebnis durch Vorwärtsrechnung geprüft? | □ |
Merksätze zum verminderten Grundwert
- Der ursprüngliche Grundwert entspricht 100 Prozent.
- Nach einer Minderung entspricht der neue Wert weniger als 100 Prozent.
- Der Restprozentsatz lautet 100 Prozent minus Minderung.
- Bei 20 Prozent Minderung bleiben 80 Prozent.
- Bei einer Rückwärtsrechnung wird vom Restprozentsatz auf 100 Prozent gerechnet.
- Ein verminderter Grundwert kann mit Formel, Faktor oder Dreisatz bearbeitet werden.
- Ein Rabatt darf nicht einfach mit demselben Prozentsatz wieder auf den Endwert aufgeschlagen werden.
- Mehrere aufeinanderfolgende Rabatte beziehen sich auf unterschiedliche Grundwerte.
Aufgaben und Übungen kostenlos downloaden
Sie erhalten auf der Bildungsbibel kostenlose Aufgaben und Übungen zur Prozentrechnung. Trainieren Sie dabei insbesondere die Rückwärtsrechnung, bei der ein verminderter Grundwert bekannt und der ursprüngliche Wert von 100 Prozent gesucht ist.
Bearbeiten Sie die Aufgaben zunächst selbstständig. Schreiben Sie vor jeder Rechnung auf, welcher Wert den verbleibenden Prozenten entspricht und welcher Wert gesucht wird.
Die vorhandenen Arbeitsblätter können kostenlos heruntergeladen und für das Lernen oder den Unterricht eingesetzt werden.
Weitere Online-Übungen zur Prozentrechnung
Neben den Arbeitsblättern der Bildungsbibel können interaktive Aufgaben helfen, das Verständnis zu vertiefen. Wichtig ist dabei, nicht nur Ergebnisse einzutippen, sondern den zugrunde liegenden Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz zu erkennen.
Häufige Fragen zur Rechnung mit verminderten Werten
Was ist ein verminderter Grundwert?
Ein verminderter Grundwert ist der Wert, der nach einer prozentualen Verringerung des ursprünglichen Grundwertes übrig bleibt. Wird ein Preis von 100 Euro beispielsweise um 20 Prozent reduziert, beträgt der neue Wert 80 Euro.
Wie berechnet man den ursprünglichen Grundwert?
Ist der verminderte Grundwert bekannt, verwenden Sie G = Gv × 100 ÷ (100 – p). Bei 80 Euro nach 20 Prozent Rabatt ergibt sich 80 × 100 ÷ 80 = 100 Euro.
Warum wird 100 minus Prozentsatz gerechnet?
Der angegebene Prozentsatz beschreibt die Minderung. Um zu wissen, welchem Prozentsatz der neue Wert entspricht, benötigen Sie den verbleibenden Anteil. Nach 20 Prozent Minderung bleiben 80 Prozent.
Kann man einen verminderten Grundwert mit dem Dreisatz berechnen?
Ja. Der reduzierte Wert wird dem verbleibenden Prozentsatz zugeordnet. Anschließend rechnen Sie über 1 Prozent oder direkt proportional auf 100 Prozent zurück.
Was bedeutet im Hundert rechnen?
Bei entsprechenden kaufmännischen Aufgaben bezeichnet „im Hundert rechnen“ die Rückrechnung von einem Wert, der weniger als 100 Prozent des Ausgangswertes entspricht, auf den ursprünglichen Grundwert von 100 Prozent.
Wie berechnet man den verminderten Wert vorwärts?
Wenn der ursprüngliche Grundwert und die Minderung bekannt sind, gilt Gv = G × (100 – p) ÷ 100. Bei 200 Euro und 20 Prozent Minderung erhalten Sie 160 Euro.
Warum kann man einen Rabatt nicht einfach wieder addieren?
Weil sich der Rabatt auf den ursprünglichen Grundwert bezieht. Der verminderte Grundwert besitzt eine andere Bezugsbasis. Nach 20 Prozent Rabatt entsprechen beispielsweise 80 Euro nur noch 80 Prozent. Für den ursprünglichen Wert müssen Sie deshalb durch 0,80 teilen.
Sind 20 Prozent Rabatt und anschließend 20 Prozent Zuschlag neutral?
Nein. Aus 100 Euro werden nach 20 Prozent Rabatt 80 Euro. Ein Zuschlag von 20 Prozent auf 80 Euro ergibt anschließend nur 96 Euro. Die beiden Prozentsätze beziehen sich auf unterschiedliche Grundwerte.
Was ist der Unterschied zum Prozentwert?
Der Prozentwert bezeichnet den Betrag der prozentualen Minderung. Der verminderte Grundwert ist dagegen der Wert, der nach Abzug dieses Prozentwertes übrig bleibt. Bei 200 Euro und 25 Prozent Rabatt beträgt der Prozentwert 50 Euro und der neue Wert 150 Euro.
Was ist der Unterschied zum vermehrten Grundwert?
Ein verminderter Grundwert liegt nach einem prozentualen Abzug unter dem ursprünglichen Wert. Ein vermehrter Wert entsteht dagegen durch einen Zuschlag und liegt über der ursprünglichen Bezugsgröße von 100 Prozent.
Kann man mit einem Faktor rechnen?
Ja. Bei einer Minderung von p Prozent lautet der Faktor 1 – p/100. Bei 20 Prozent Minderung ist der Faktor 0,80. Für die Rückwärtsrechnung teilen Sie den bekannten verminderten Grundwert durch 0,80.
Fazit: Erst den verbleibenden Prozentsatz bestimmen
Der verminderte Grundwert ist ein wichtiger Sonderfall der Prozentrechnung und begegnet Ihnen besonders bei Rabatten, Preisnachlässen, Abschlägen und kaufmännischen Kalkulationsaufgaben.
Entscheidend ist zunächst die Bezugsbasis: Der ursprüngliche Grundwert entspricht 100 Prozent. Wird dieser beispielsweise um 20 Prozent reduziert, entspricht der neue Wert noch 80 Prozent des ursprünglichen Wertes.
Wenn dieser neue Wert bekannt und der ursprüngliche Grundwert gesucht ist, müssen Sie rückwärts rechnen. Die zentrale Formel lautet G = Gv × 100 ÷ (100 – p).
Alternativ können Sie den verminderten Grundwert durch den verbleibenden Dezimalfaktor teilen. Bei 20 Prozent Rabatt ist dieser Faktor 0,80. Die Rechnung lautet dann beispielsweise 80 ÷ 0,80 = 100.
Auch der Dreisatz führt zum gleichen Ergebnis. Ordnen Sie den bekannten Wert zunächst dem verbleibenden Prozentsatz zu und rechnen Sie anschließend auf 100 Prozent zurück.
Besonders wichtig ist, den Prozentsatz nicht einfach wieder zum reduzierten Wert zu addieren. Eine Verminderung um 20 Prozent und eine anschließende Erhöhung um 20 Prozent gleichen sich nicht aus, weil sich die beiden Veränderungen auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.
Die Bildungsbibel empfiehlt deshalb ein einfaches Schema: ursprüngliche 100 Prozent erkennen, Minderung abziehen, verbleibenden Prozentsatz bestimmen, Formel oder Dreisatz anwenden und das Ergebnis anschließend mit einer Vorwärtsrechnung kontrollieren.
Wenn Sie diese Logik verstanden haben, können Sie einen verminderten Grundwert nicht nur auswendig nach einer Formel berechnen, sondern auch komplexere Aufgaben mit Rabatten, mehreren Minderungen oder kaufmännischen Kalkulationsschritten sicher lösen.
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