Weiterbildung – Online lernen – Kaufmännisches Rechnen – Vermehrter Grundwert, Prozentrechnung, Formel, Dreisatz, Beispiele und Übungen
Sie lernen auf der Bildungsbibel, wie Sie einen vermehrter Grundwert in der Prozentrechnung erkennen und berechnen. Diese Aufgabenart ist besonders wichtig, wenn ein bereits erhöhter Wert bekannt ist und Sie daraus den ursprünglichen Grundwert von 100 Prozent ermitteln sollen. Typische Anwendungen sind Bruttopreise mit Umsatzsteuer, Preisaufschläge, Kostensteigerungen und weitere prozentuale Erhöhungen.
Sie erhalten die passende Formel, eine ausführliche Herleitung, den Rechenweg mit dem Dreisatz und zahlreiche Beispiele. Zusätzlich lernen Sie, wie ein vermehrter Grundwert vorwärts berechnet wird, wie die Rückwärtsrechnung funktioniert, was „auf Hundert rechnen“ bedeutet und warum Sie einen Zuschlag nicht einfach wieder vom erhöhten Wert abziehen dürfen.
Das Wichtigste zur Auf-Hundert-Rechnung im Überblick
- Der ursprüngliche Grundwert entspricht 100 Prozent.
- Nach einer prozentualen Erhöhung liegt der neue Wert über 100 Prozent.
- Bei 19 Prozent Erhöhung entspricht der neue Wert 119 Prozent des ursprünglichen Grundwertes.
- Bei 10 Prozent Erhöhung entspricht der neue Wert 110 Prozent.
- Ist der erhöhte Wert bekannt und der ursprüngliche Wert gesucht, rechnen Sie auf 100 Prozent zurück.
- Die Rückwärtsformel lautet G = Gv × 100 ÷ (100 + p).
- Alternativ können Sie den erhöhten Wert durch den Faktor 1 + p/100 teilen.
- Auch der Dreisatz eignet sich sehr gut für diese Aufgabenart.
- Ein vermehrter Grundwert ist nicht mit dem Prozentwert der Erhöhung zu verwechseln.
- Das Ergebnis sollte immer durch eine Vorwärtsrechnung kontrolliert werden.
Tipp der Bildungsbibel: Schreiben Sie bei einer Rückwärtsrechnung zuerst auf, welchem Prozentsatz der bekannte Wert entspricht. Nach 10 Prozent Erhöhung sind es 110 Prozent, nach 19 Prozent Erhöhung 119 Prozent und nach 25 Prozent Erhöhung 125 Prozent. Dadurch lässt sich ein vermehrter Grundwert wesentlich leichter richtig zuordnen.
Was bedeutet ein erhöhter Grundwert?
Der Grundwert ist in der Prozentrechnung die Bezugsgröße und entspricht 100 Prozent. Wird dieser Grundwert um einen bestimmten Prozentsatz erhöht, entsteht ein neuer Wert, der mehr als 100 Prozent des ursprünglichen Grundwertes entspricht.
Dieser erhöhte Wert wird im kaufmännischen Rechnen als vermehrter Grundwert bezeichnet. Beträgt ein ursprünglicher Preis beispielsweise 100 Euro und wird um 20 Prozent erhöht, entstehen:
100 € + 20 % von 100 € = 120 €
Die 120 Euro entsprechen 120 Prozent des ursprünglichen Grundwertes.
Die für viele Lernende schwierigere Aufgabenstellung funktioniert in umgekehrter Richtung: Ein vermehrter Grundwert ist bereits bekannt, der ursprüngliche Wert von 100 Prozent dagegen nicht. Dann müssen Sie zurückrechnen.
Grundwert, Prozentwert und erhöhten Wert unterscheiden
Bevor Sie mit der Rechnung beginnen, sollten Sie die Größen der Prozentrechnung eindeutig zuordnen.
| Größe | Zeichen | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Grundwert | G | ursprüngliche Bezugsgröße | 100 € |
| Prozentsatz | p | prozentuale Erhöhung | 20 % |
| Prozentwert | W | Betrag der Erhöhung | 20 € |
| vermehrter Grundwert | Gv | Grundwert zuzüglich Erhöhung | 120 € |
Der Zusammenhang lässt sich damit sehr einfach darstellen:
vermehrter Grundwert = Grundwert + Prozentwert
Im Beispiel sind 100 Euro der Grundwert, 20 Euro der Prozentwert der Erhöhung und 120 Euro der neue Wert.
Warum entspricht der neue Wert mehr als 100 Prozent?
Der ursprüngliche Grundwert stellt immer 100 Prozent dar. Wird dieser beispielsweise um 19 Prozent erhöht, kommen zum ursprünglichen Wert weitere 19 Prozent hinzu:
100 % + 19 % = 119 %
Ein vermehrter Grundwert entspricht in diesem Fall also 119 Prozent des ursprünglichen Wertes.
Bei einer Erhöhung um 7 Prozent wären es 107 Prozent, bei 25 Prozent Erhöhung 125 Prozent und bei 50 Prozent Erhöhung 150 Prozent.
| Erhöhung | Neuer Prozentsatz | Faktor |
|---|---|---|
| 5 % | 105 % | 1,05 |
| 10 % | 110 % | 1,10 |
| 15 % | 115 % | 1,15 |
| 19 % | 119 % | 1,19 |
| 20 % | 120 % | 1,20 |
| 25 % | 125 % | 1,25 |
| 50 % | 150 % | 1,50 |
Diese Tabelle ist besonders hilfreich, wenn ein vermehrter Grundwert aus einer Textaufgabe erkannt werden soll.
Vorwärtsrechnung und Rückwärtsrechnung unterscheiden
Beim vermehrten Grundwert gibt es zwei grundsätzlich verschiedene Aufgabenrichtungen. Vor der Berechnung sollten Sie klären, welcher Wert bekannt und welcher gesucht ist.
Vorwärtsrechnung: erhöhter Wert gesucht
Der ursprüngliche Grundwert ist bekannt und soll um einen Prozentsatz erhöht werden.
Beispiel: Ein Preis von 200 Euro wird um 10 Prozent erhöht.
Der neue Prozentsatz beträgt:
100 % + 10 % = 110 %
Damit:
200 € × 110 ÷ 100 = 220 €
Der vermehrter Grundwert beträgt 220 Euro.
Rückwärtsrechnung: ursprünglicher Grundwert gesucht
Der erhöhte Wert ist bekannt und der ursprüngliche Wert von 100 Prozent wird gesucht.
Beispiel: Nach einer Erhöhung um 10 Prozent beträgt ein Preis 220 Euro.
Die 220 Euro entsprechen 110 Prozent. Der ursprüngliche Grundwert wird berechnet mit:
220 € × 100 ÷ 110 = 200 €
Diese Rückwärtsrechnung ist die klassische „Auf-Hundert-Rechnung“.
Formel für den vermehrten Grundwert
Ist ein vermehrter Grundwert bekannt und soll daraus der ursprüngliche Grundwert von 100 Prozent berechnet werden, lautet die Formel:
G = Gv × 100 ÷ (100 + p)
G bezeichnet den ursprünglichen Grundwert, Gv den bereits erhöhten Wert und p den Prozentsatz der Erhöhung.
Formel mathematisch herleiten
Die Formel lässt sich direkt aus der normalen Prozentrechnung ableiten. Angenommen, der ursprüngliche Grundwert G wird um p Prozent erhöht.
Der Prozentwert der Erhöhung lautet:
W = G × p ÷ 100
Der neue Wert ergibt sich aus:
Gv = G + W
Setzen Sie den Prozentwert ein:
Gv = G + G × p/100
G kann ausgeklammert werden:
Gv = G × (1 + p/100)
Für die Rückwärtsrechnung wird nach G umgestellt:
G = Gv ÷ (1 + p/100)
Dies entspricht:
G = Gv × 100 ÷ (100 + p)
Damit wird sichtbar, dass ein vermehrter Grundwert keine zusätzliche komplizierte Prozentrechnung benötigt. Es handelt sich um die normale Prozentrechnung mit einer erweiterten Bezugsgröße über 100 Prozent.
Mit dem Faktor rechnen
Besonders einfach lässt sich ein vermehrter Grundwert mit einem Wachstums- beziehungsweise Erhöhungsfaktor berechnen.
Der Faktor lautet:
Faktor = 1 + p/100
Bei 19 Prozent Erhöhung erhalten Sie:
1 + 19/100 = 1,19
Vorwärts gilt:
Gv = G × 1,19
Rückwärts gilt:
G = Gv ÷ 1,19
Wer häufig Aufgaben zum vermehrten Grundwert löst, kann mit dieser Faktor-Methode sehr schnell rechnen.
Beispiel: Bruttoverkaufspreis auf Netto zurückrechnen
Der Bruttoverkaufspreis einer Ware beträgt 357 Euro. Im Beispiel gilt der reguläre Umsatzsteuersatz von 19 Prozent. Wie hoch ist der Nettoverkaufspreis?
Der Nettopreis entspricht 100 Prozent. Die Umsatzsteuer wird auf diese Bemessungsgrundlage berechnet. Damit entspricht der Bruttopreis:
100 % + 19 % = 119 %
Die bekannten Werte sind:
| Vermehrter Grundwert | 357,00 € |
|---|---|
| entspricht | 119 % |
| Umsatzsteuersatz | 19 % |
| ursprünglicher Grundwert | gesucht = 100 % |
Sie setzen die Werte in die Formel ein:
G = 357 × 100 ÷ (100 + 19)
G = 357 × 100 ÷ 119
G = 300 €
Antwort: Der Nettoverkaufspreis beträgt 300 Euro.
Die Umsatzsteuer beträgt in diesem Beispiel anschließend:
357 € – 300 € = 57 €
Die 57 Euro entsprechen 19 Prozent von 300 Euro. Sie entsprechen jedoch nicht 19 Prozent des Bruttopreises. Diese Unterscheidung ist beim vermehrten Grundwert besonders wichtig.
Warum 19 Prozent Umsatzsteuer nicht 19 Prozent vom Bruttopreis sind
Ein häufiger Fehler besteht darin, bei einem Bruttopreis einfach 19 Prozent des Bruttopreises als Umsatzsteuer abzuziehen. Der Umsatzsteuersatz bezieht sich jedoch auf die Bemessungsgrundlage beziehungsweise den Nettowert.
Im Beispiel von 357 Euro wäre:
19 % von 357 € = 67,83 €
Das wäre nicht der enthaltene Steuerbetrag. Richtig sind 57 Euro, denn:
19 % von 300 € = 57 €
Der vermehrter Grundwert von 357 Euro entspricht 119 Prozent des Nettopreises von 300 Euro.
Der reguläre Umsatzsteuersatz beträgt für entsprechend steuerpflichtige Umsätze 19 Prozent der Bemessungsgrundlage. Daneben bestehen unter anderem ein ermäßigter Satz und weitere gesetzlich geregelte Fälle. Weitere Informationen finden Sie in § 12 Umsatzsteuergesetz.
Alternative: Mit dem Dreisatz rechnen
Ein vermehrter Grundwert lässt sich auch ohne spezielle Formel mit dem Dreisatz auf den ursprünglichen Wert zurückrechnen.
Im Beispiel entsprechen 357 Euro insgesamt 119 Prozent:
- 119 % = 357,00 €
- 1 % = 357,00 € ÷ 119 = 3,00 €
- 100 % = 3,00 € × 100 = 300,00 €
Als verkürzten Dreisatz können Sie direkt rechnen:
357 × 100 ÷ 119 = 300 €
Formel, Faktor und Dreisatz führen beim vermehrten Grundwert zum gleichen Ergebnis.
Was bedeutet „auf Hundert rechnen“?
Im kaufmännischen Rechnen wird die Rückwärtsrechnung von einem erhöhten Wert auf den ursprünglichen Grundwert häufig als Prozentrechnung „auf Hundert“ bezeichnet.
Der gegebene Wert liegt dabei über 100 Prozent. Sie rechnen beispielsweise von 119 Prozent, 110 Prozent oder 125 Prozent zurück auf 100 Prozent.
| Gegebener Wert entspricht | Erhöhung | Gesucht |
|---|---|---|
| 105 % | 5 % | 100 % |
| 110 % | 10 % | 100 % |
| 119 % | 19 % | 100 % |
| 125 % | 25 % | 100 % |
| 150 % | 50 % | 100 % |
Ein vermehrter Grundwert ist damit der typische Ausgangspunkt der Auf-Hundert-Rechnung.
Auf Hundert, im Hundert und von Hundert unterscheiden
Im kaufmännischen Rechnen begegnen Ihnen unterschiedliche Bezeichnungen. Eine saubere Unterscheidung hilft bei der Wahl des richtigen Rechenwegs.
| Rechenart | Typische Ausgangslage | Beispiel |
|---|---|---|
| von Hundert | Grundwert von 100 % ist bekannt | 20 % von 500 € |
| auf Hundert | vermehrter Grundwert über 100 % ist gegeben | 119 % = 357 €, gesucht 100 % |
| im Hundert | verminderter Wert unter 100 % ist gegeben | 80 % = 160 €, gesucht 100 % |
Die Begriffe werden besonders im kaufmännischen Unterricht und in der Handelskalkulation verwendet. Entscheidend bleibt jedoch immer die mathematische Frage: Welchem Prozentsatz entspricht der bekannte Wert und welcher Wert wird gesucht?
Erhöhten Wert vorwärts berechnen
Nicht immer soll aus einem vermehrten Grundwert zurückgerechnet werden. Häufig kennen Sie den ursprünglichen Grundwert und sollen den neuen Wert nach einer Erhöhung berechnen.
Die Formel lautet:
Gv = G × (100 + p) ÷ 100
oder mit dem Faktor:
Gv = G × (1 + p/100)
Beispiel: Ein Preis von 400 Euro wird um 15 Prozent erhöht.
400 × 115 ÷ 100 = 460 €
Der vermehrter Grundwert beträgt 460 Euro.
Vorwärts- und Rückwärtsformel vergleichen
| Fragestellung | Formel |
|---|---|
| erhöhten Wert berechnen | Gv = G × (100 + p) ÷ 100 |
| ursprünglichen Grundwert berechnen | G = Gv × 100 ÷ (100 + p) |
| Vorwärtsrechnung mit Faktor | Gv = G × (1 + p/100) |
| Rückwärtsrechnung mit Faktor | G = Gv ÷ (1 + p/100) |
Bei einem vermehrten Grundwert ist die Frage „Was ist gegeben und was ist gesucht?“ deshalb wichtiger als das bloße Auswendiglernen einer Formel.
Beispiel mit 10 Prozent Preiserhöhung
Nach einer Preiserhöhung um 10 Prozent kostet ein Produkt 275 Euro. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?
Der neue Wert entspricht:
100 % + 10 % = 110 %
Der vermehrter Grundwert von 275 Euro entspricht damit 110 Prozent.
G = 275 × 100 ÷ 110 = 250 €
Der ursprüngliche Grundwert betrug 250 Euro.
Beispiel mit 25 Prozent Zuschlag
Nach einem Zuschlag von 25 Prozent beträgt ein Preis 625 Euro. Gesucht wird die ursprüngliche Bezugsgröße.
625 Euro entsprechen 125 Prozent.
G = 625 × 100 ÷ 125 = 500 €
Der vermehrter Grundwert beträgt 625 Euro, der reine Grundwert 500 Euro und die Erhöhung 125 Euro.
Beispiel mit 7 Prozent Kostensteigerung
Die Kosten eines Projekts sind um 7 Prozent gestiegen und betragen jetzt 267.500 Euro. Wie hoch waren die ursprünglich kalkulierten Kosten?
Der bekannte Betrag entspricht 107 Prozent:
267.500 × 100 ÷ 107 = 250.000 €
Der ursprüngliche Grundwert betrug 250.000 Euro.
Die Erhöhung beträgt:
267.500 € – 250.000 € = 17.500 €
Beispiel mit einem Verkaufspreis und Aufschlag
Ein Unternehmen erhöht einen Preis um 30 Prozent. Der neue Preis beträgt 260 Euro. Welcher ursprüngliche Preis lag der Erhöhung zugrunde?
Der vermehrter Grundwert entspricht 130 Prozent.
260 × 100 ÷ 130 = 200 €
Der ursprüngliche Preis betrug 200 Euro. Der Zuschlag beträgt 60 Euro.
Umsatzsteuer mit 7 Prozent als weiteres Beispiel
Bei Umsätzen, für die der ermäßigte Umsatzsteuersatz von 7 Prozent gilt, entspricht ein Bruttopreis 107 Prozent des Nettowertes.
Angenommen, ein Bruttopreis beträgt 107 Euro:
107 % = 107 €
100 % = 100 €
Der vermehrter Grundwert beträgt in diesem Beispiel 107 Euro. Der Nettowert beträgt 100 Euro und der Steuerbetrag 7 Euro.
Welche Umsätze tatsächlich dem Regelsteuersatz, einem ermäßigten Steuersatz oder einer anderen Regelung unterliegen, richtet sich nach dem Umsatzsteuerrecht. Für Rechenaufgaben verwenden Sie den in der Aufgabe genannten Steuersatz.
Warum darf man einen Zuschlag nicht einfach wieder abziehen?
Dies gehört zu den wichtigsten Fehlerquellen. Angenommen, ein Preis von 100 Euro wurde um 20 Prozent erhöht und beträgt anschließend 120 Euro.
Wer nun 20 Prozent von 120 Euro abzieht, erhält:
120 € – 24 € = 96 €
Der ursprüngliche Wert von 100 Euro wird nicht erreicht. Das liegt daran, dass die ursprüngliche Erhöhung von 20 Prozent auf 100 Euro berechnet wurde. Beim späteren Abzug beziehen sich 20 Prozent dagegen auf 120 Euro.
Wenn ein vermehrter Grundwert von 120 Euro einer Erhöhung um 20 Prozent entspricht, müssen Sie stattdessen rechnen:
120 ÷ 1,20 = 100 €
20 Prozent mehr und danach 20 Prozent weniger
Prozentuale Erhöhungen und Verminderungen mit demselben Prozentsatz gleichen sich nicht automatisch aus.
Aus 100 Euro werden durch eine Erhöhung um 20 Prozent:
100 × 1,20 = 120 €
Werden anschließend 20 Prozent von 120 Euro abgezogen:
120 × 0,80 = 96 €
Der Wert liegt danach vier Euro unter dem ursprünglichen Grundwert. Auch hier sind unterschiedliche Bezugsgrößen die Ursache.
Wie viel Prozent muss ein erhöhter Wert sinken?
Auch die umgekehrte Fragestellung ist interessant. Ein Preis steigt von 100 Euro auf 125 Euro. Dies ist eine Steigerung um 25 Prozent. Um von 125 Euro wieder auf 100 Euro zurückzukehren, reicht eine Senkung um 25 Prozent jedoch nicht.
Die notwendige Senkung beträgt:
25 ÷ 125 × 100 = 20 %
Eine Erhöhung um 25 Prozent wird in diesem Beispiel also durch eine anschließende Verringerung um 20 Prozent rückgängig gemacht.
Ein vermehrter Grundwert verändert die Bezugsbasis. Deshalb sind Hin- und Rückrechnung nicht einfach spiegelbildlich mit demselben Prozentsatz möglich.
Mehrere Erhöhungen nacheinander berechnen
Mehrere prozentuale Erhöhungen werden nacheinander auf den jeweils neuen Grundwert angewendet. Die Prozentsätze dürfen deshalb nicht ohne Weiteres addiert werden.
Beispiel: Ein Preis von 1.000 Euro steigt zuerst um 10 Prozent und anschließend um weitere 20 Prozent.
Erste Erhöhung:
1.000 × 1,10 = 1.100 €
Zweite Erhöhung:
1.100 × 1,20 = 1.320 €
Der endgültige vermehrter Grundwert beträgt 1.320 Euro.
Insgesamt beträgt die Erhöhung damit 32 Prozent und nicht 30 Prozent:
1,10 × 1,20 = 1,32
Mehrere Erhöhungen rückwärts auflösen
Ist nur der Endwert nach mehreren Zuschlägen bekannt, rechnen Sie die Faktoren in umgekehrter Reihenfolge zurück.
Der Endwert beträgt im vorherigen Beispiel 1.320 Euro. Zuerst entfernen Sie rechnerisch die zweite Erhöhung von 20 Prozent:
1.320 ÷ 1,20 = 1.100 €
Anschließend entfernen Sie die erste Erhöhung von 10 Prozent:
1.100 ÷ 1,10 = 1.000 €
Damit erhalten Sie aus dem vermehrten Grundwert wieder den ursprünglichen Wert.
Prozentsatz aus altem und neuem Wert berechnen
Manchmal sind ursprünglicher und erhöhter Wert bekannt, der Prozentsatz der Erhöhung jedoch nicht.
Zuerst bestimmen Sie den absoluten Zuwachs:
Erhöhung = neuer Wert – ursprünglicher Wert
Danach berechnen Sie den Prozentsatz:
p = Erhöhung × 100 ÷ ursprünglicher Grundwert
Beispiel: Ein Preis steigt von 400 Euro auf 460 Euro.
Erhöhung:
460 – 400 = 60 €
Prozentsatz:
60 × 100 ÷ 400 = 15 %
Der vermehrter Grundwert von 460 Euro liegt damit 15 Prozent über dem ursprünglichen Grundwert.
Erhöhungsbetrag berechnen
Ist der ursprüngliche Grundwert bekannt, können Sie den Betrag der Erhöhung mit der normalen Prozentwertformel bestimmen:
W = G × p ÷ 100
Beispiel: 500 Euro werden um 12 Prozent erhöht.
W = 500 × 12 ÷ 100 = 60 €
Der neue Wert beträgt:
500 € + 60 € = 560 €
Der vermehrter Grundwert beträgt somit 560 Euro.
Erhöhungsbetrag aus dem neuen Wert bestimmen
Ist nur ein vermehrter Grundwert und der Prozentsatz bekannt, berechnen Sie zunächst den ursprünglichen Grundwert. Anschließend können Sie die Differenz bilden.
Beispiel: Ein Preis beträgt nach 25 Prozent Aufschlag 250 Euro.
Grundwert:
250 ÷ 1,25 = 200 €
Aufschlag:
250 € – 200 € = 50 €
Der Aufschlag beträgt 50 Euro.
Typische Signalwörter in Textaufgaben
Bei Textaufgaben müssen Sie zunächst erkennen, dass ein vermehrter Grundwert vorliegt. Typische Formulierungen sind:
- „nach einer Erhöhung um …“
- „einschließlich eines Zuschlags von …“
- „inklusive Umsatzsteuer …“
- „der Preis stieg um …“
- „nach einem Kostenanstieg …“
- „der neue Preis beträgt …“
- „wie hoch war der ursprüngliche Wert?“
Steht ein bereits erhöhter Betrag fest und soll der Wert vor der Erhöhung bestimmt werden, handelt es sich typischerweise um eine Rückwärtsrechnung auf 100 Prozent.
Vermehrten und verminderten Grundwert unterscheiden
Die beiden Aufgabenarten sind Gegenstücke innerhalb der Prozentrechnung.
| Merkmal | Vermehrter Grundwert | Verminderter Wert |
|---|---|---|
| Veränderung | Erhöhung | Verringerung |
| neuer Prozentsatz | über 100 % | unter 100 % |
| Beispiel | 100 % + 19 % = 119 % | 100 % – 20 % = 80 % |
| Rückwärtsrechnung | durch Faktor über 1 teilen | durch Faktor unter 1 teilen |
| kaufmännische Bezeichnung | auf Hundert | im Hundert |
Ein vermehrter Grundwert entsteht also durch einen Zuschlag. Ein verminderter Wert entsteht dagegen durch einen Abschlag.
Prozent und Prozentpunkte nicht verwechseln
Ein vermehrter Grundwert kann auch bei Aufgaben vorkommen, in denen Prozentangaben selbst erhöht werden. Dabei müssen Sie Prozent und Prozentpunkte unterscheiden.
Steigt beispielsweise ein Anteil von 20 Prozent auf 25 Prozent, beträgt die Veränderung:
- 5 Prozentpunkte,
- aber 25 Prozent relativ zum Ausgangswert von 20 Prozent.
Rechnung:
(25 – 20) ÷ 20 × 100 = 25 %
Diese Unterscheidung ist besonders bei Statistiken, Zinsen und wirtschaftlichen Kennzahlen wichtig.
Mit dem Taschenrechner rechnen
Ein vermehrter Grundwert kann mit einem normalen Taschenrechner sehr einfach zurückgerechnet werden.
Beispiel: Ein Wert von 345 Euro enthält bereits eine Erhöhung von 15 Prozent.
Variante mit Prozentwerten:
345 × 100 ÷ 115 = 300
Variante mit Faktor:
345 ÷ 1,15 = 300
Beide Wege liefern den ursprünglichen Grundwert von 300 Euro.
Vermehrten Grundwert mit Excel berechnen
Auch in Excel oder einer anderen Tabellenkalkulation lässt sich die Rückwärtsrechnung automatisieren.
Angenommen:
- A2 enthält den erhöhten Wert,
- B2 enthält den Prozentsatz als Zahl 19.
Dann lautet eine mögliche Formel:
=A2*100/(100+B2)
Ist B2 bereits als echter Prozentwert 19 % formatiert, können Sie verwenden:
=A2/(1+B2)
Auf diese Weise können Sie einen vermehrter Grundwert für viele Datensätze automatisch zurückrechnen.
Typische Fehler bei dieser Prozentrechnung
| Fehler | Warum problematisch? | Richtig |
|---|---|---|
| 19 % vom Bruttopreis als Umsatzsteuer nehmen | Steuer bezieht sich im Beispiel auf den Nettowert. | Brutto durch 1,19 teilen. |
| Zuschlag einfach vom erhöhten Wert abziehen | Bezugsgrundwerte unterscheiden sich. | Durch den Erhöhungsfaktor teilen. |
| 119 % mit 19 % verwechseln | 19 % sind nur die Erhöhung. | Neuer Wert entspricht 119 %. |
| Prozentwert und neuen Wert verwechseln | Der Zuschlag ist nur die Differenz. | Gv = G + W beachten. |
| Vorwärts- und Rückwärtsformel vertauschen | Ergebnisse werden zu hoch oder zu niedrig. | Zuerst gesuchte Größe bestimmen. |
| mehrere Zuschläge einfach addieren | Zweiter Zuschlag hat neuen Grundwert. | Faktoren multiplizieren. |
| Prozent und Prozentpunkte verwechseln | unterschiedliche Bezugsarten | Ausgangsbasis prüfen. |
Plausibilitätsprüfung nach der Berechnung
Nach jeder Aufgabe sollten Sie prüfen, ob das Ergebnis logisch sein kann.
- Bei einer positiven Erhöhung muss der vermehrter Grundwert größer sein als der ursprüngliche Wert.
- Bei 100 Prozent Erhöhung muss sich der Wert verdoppeln.
- Bei 50 Prozent Erhöhung entspricht der neue Wert 150 Prozent beziehungsweise dem Faktor 1,5.
- Bei nur 1 Prozent Erhöhung darf die Differenz zum Grundwert relativ klein sein.
- Eine Rückrechnung muss bei erneuter Vorwärtsrechnung wieder genau zum bekannten Endwert führen.
Wenn ein bekannter vermehrter Grundwert beispielsweise 120 Euro beträgt und eine Erhöhung von 20 Prozent angegeben ist, kann der ursprüngliche Wert nicht 130 Euro betragen. Er muss kleiner als 120 Euro sein.
5-Schritte-Schema für jede Aufgabe
- Textaufgabe lesen: Wurde ein Wert prozentual erhöht?
- Werte zuordnen: Welcher Betrag ist bekannt und was wird gesucht?
- Gesamtprozentsatz bilden: 100 % + Erhöhung.
- Formel, Faktor oder Dreisatz einsetzen.
- Ergebnis durch Vorwärtsrechnung kontrollieren.
Dieses Schema erleichtert das Erkennen, wann ein vermehrter Grundwert vorliegt und welche Formel verwendet werden muss.
Übungsbeispiel 1: Grundwert zurückrechnen
Nach einer Erhöhung um 20 Prozent beträgt ein Preis 144 Euro. Wie hoch war der ursprüngliche Wert?
Der neue Preis entspricht 120 Prozent.
144 × 100 ÷ 120 = 120 €
Der ursprüngliche Grundwert beträgt 120 Euro.
Übungsbeispiel 2: Erhöhten Wert berechnen
Ein Betrag von 800 Euro erhöht sich um 12 Prozent. Berechnen Sie den neuen Wert.
800 × 112 ÷ 100 = 896 €
Der vermehrter Grundwert beträgt 896 Euro.
Übungsbeispiel 3: Zuschlag berechnen
Ein ursprünglicher Wert von 600 Euro wird um 15 Prozent erhöht.
Zuschlag:
600 × 15 ÷ 100 = 90 €
Neuer Wert:
600 + 90 = 690 €
Übungsbeispiel 4: Prozentsatz bestimmen
Ein Wert steigt von 320 Euro auf 400 Euro.
Absolute Erhöhung:
400 – 320 = 80 €
Prozentuale Erhöhung:
80 × 100 ÷ 320 = 25 %
Der vermehrter Grundwert von 400 Euro entspricht somit 125 Prozent des ursprünglichen Wertes.
Übungsbeispiel 5: Brutto auf Netto
Ein Bruttopreis beträgt 238 Euro. Für die Aufgabe gilt ein Umsatzsteuersatz von 19 Prozent. Berechnen Sie den Nettopreis.
Der Bruttowert entspricht 119 Prozent.
238 × 100 ÷ 119 = 200 €
Der Nettopreis beträgt 200 Euro. Die enthaltene Umsatzsteuer beträgt 38 Euro.
Übungsbeispiel 6: Fehler finden
Ein Produkt kostet nach einer Erhöhung um 25 Prozent 500 Euro. Ein Lernender rechnet:
500 – 25 % von 500 = 375 €
Das ist falsch, weil die 25 Prozent ursprünglich auf den alten Grundwert bezogen waren.
Richtig ist:
500 ÷ 1,25 = 400 €
Der ursprüngliche Wert betrug 400 Euro.
Übungsbeispiel 7: Zwei Erhöhungen
Ein Preis von 500 Euro steigt zuerst um 10 Prozent und anschließend um 5 Prozent.
Erste Erhöhung:
500 × 1,10 = 550 €
Zweite Erhöhung:
550 × 1,05 = 577,50 €
Der endgültige vermehrter Grundwert beträgt 577,50 Euro. Die gesamte Erhöhung beträgt 15,5 Prozent und nicht 15 Prozent.
Übungsbeispiel 8: Faktor verwenden
Nach einem Aufschlag von 8 Prozent beträgt ein Wert 540 Euro.
Der Faktor beträgt:
1 + 0,08 = 1,08
Rückwärtsrechnung:
540 ÷ 1,08 = 500 €
Der ursprüngliche Grundwert beträgt 500 Euro.
Checkliste zur Auf-Hundert-Rechnung
| Prüffrage | Erledigt? |
|---|---|
| Liegt eine prozentuale Erhöhung vor? | □ |
| Ist der bekannte Wert bereits erhöht? | □ |
| Ist der ursprüngliche Grundwert von 100 % gesucht? | □ |
| Gesamtprozentsatz 100 + p berechnet? | □ |
| Vermehrten Wert richtig zugeordnet? | □ |
| Formel, Faktor oder Dreisatz richtig gewählt? | □ |
| Zuschlag nicht einfach wieder abgezogen? | □ |
| Bei mehreren Erhöhungen Faktoren einzeln berücksichtigt? | □ |
| Ergebnis mit einer Vorwärtsrechnung kontrolliert? | □ |
Merksätze zum vermehrten Grundwert
- Der reine Grundwert entspricht 100 Prozent.
- Ein vermehrter Grundwert liegt über 100 Prozent.
- Bei 19 Prozent Erhöhung entspricht der neue Wert 119 Prozent.
- Bei der Auf-Hundert-Rechnung wird vom erhöhten Wert auf 100 Prozent zurückgerechnet.
- Die Rückwärtsrechnung kann mit Formel, Dreisatz oder Faktor durchgeführt werden.
- Der Faktor einer Erhöhung lautet 1 + p/100.
- Der ursprüngliche Grundwert ergibt sich aus vermehrtem Wert geteilt durch den Erhöhungsfaktor.
- Ein Zuschlag und ein anschließender gleich hoher Abschlag gleichen sich normalerweise nicht aus.
- Mehrere Erhöhungen werden mit den jeweiligen Faktoren nacheinander berechnet.
Aufgaben, Übungen und Arbeitsblätter kostenlos
Hier finden Sie kostenlose Aufgaben und Übungen für den vermehrten Grundwert beziehungsweise die Prozentrechnung auf Hundert. Die Arbeitsblätter helfen Ihnen dabei, Formel, Dreisatz und Rückwärtsrechnung selbstständig zu trainieren.
Versuchen Sie zunächst, bei jeder Aufgabe den Grundwert, den Prozentsatz und den bereits erhöhten Wert zu markieren. Entscheiden Sie anschließend, ob eine Vorwärts- oder Rückwärtsrechnung verlangt wird.
Die vorhandenen Word-Arbeitsblätter können Sie kostenlos herunterladen, bearbeiten und für das Lernen oder den Unterricht verwenden.
Weitere Online-Übungen nutzen
Ergänzend zu den Arbeitsblättern auf der Bildungsbibel können Sie die Prozentrechnung mit interaktiven Aufgaben vertiefen. Entscheidend ist dabei, nicht nur das Ergebnis zu berechnen, sondern die jeweilige Bezugsgröße sicher zu erkennen.
Häufige Fragen zur Auf-Hundert-Rechnung
Was ist ein vermehrter Grundwert?
Ein vermehrter Grundwert ist ein Wert, der durch eine prozentuale Erhöhung des ursprünglichen Grundwertes entstanden ist. Wird ein Grundwert von 100 Euro beispielsweise um 20 Prozent erhöht, beträgt der neue Wert 120 Euro.
Wie berechnet man den ursprünglichen Grundwert?
Ist ein vermehrter Grundwert bekannt, können Sie mit G = Gv × 100 ÷ (100 + p) auf den ursprünglichen Wert zurückrechnen. Alternativ teilen Sie den neuen Wert durch den Faktor 1 + p/100.
Wie lautet die Formel für die Vorwärtsrechnung?
Die Vorwärtsformel lautet Gv = G × (100 + p) ÷ 100. Bei einer Erhöhung um 20 Prozent können Sie auch direkt mit dem Faktor 1,20 multiplizieren.
Was bedeutet auf Hundert rechnen?
Bei der Prozentrechnung auf Hundert ist ein Wert über 100 Prozent gegeben. Von diesem erhöhten Wert wird auf den reinen Grundwert von 100 Prozent zurückgerechnet.
Kann man die Aufgabe mit Dreisatz lösen?
Ja. Wenn beispielsweise 119 Prozent 357 Euro entsprechen, teilen Sie zunächst durch 119, um 1 Prozent zu bestimmen, und multiplizieren anschließend mit 100.
Warum entspricht ein Bruttopreis bei 19 Prozent Umsatzsteuer 119 Prozent?
Der Nettowert entspricht 100 Prozent. Werden darauf 19 Prozent Umsatzsteuer berechnet, besteht der Bruttowert aus 100 Prozent Nettowert plus 19 Prozent Steuer und entspricht somit 119 Prozent der Bemessungsgrundlage.
Warum kann ich vom Bruttopreis nicht einfach 19 Prozent abziehen?
Weil sich die 19 Prozent im Beispiel auf den Nettopreis beziehen. Der Bruttopreis bildet eine andere Bezugsgröße. Deshalb wird für die Rückrechnung von 119 Prozent auf 100 Prozent durch 1,19 geteilt.
Was ist der Unterschied zwischen Prozentwert und erhöhtem Grundwert?
Der Prozentwert ist nur der Betrag der Erhöhung. Der vermehrter Grundwert enthält dagegen den ursprünglichen Grundwert und den Prozentwert gemeinsam. Bei 100 Euro plus 20 Prozent beträgt der Prozentwert 20 Euro und der neue Wert 120 Euro.
Was ist der Unterschied zum verminderten Grundwert?
Ein vermehrter Grundwert liegt über dem ursprünglichen Wert von 100 Prozent. Ein verminderter Grundwert liegt nach einer prozentualen Senkung unter 100 Prozent.
Warum sind 10 Prozent Erhöhung und 10 Prozent Senkung nicht gleich?
Weil sich die zweite Prozentrechnung auf einen anderen Grundwert bezieht. Aus 100 Euro werden nach 10 Prozent Erhöhung 110 Euro. Werden davon anschließend 10 Prozent abgezogen, verbleiben nur 99 Euro.
Wie werden mehrere Zuschläge berechnet?
Mehrere prozentuale Erhöhungen werden nacheinander mit ihren Faktoren multipliziert. Bei 10 Prozent und anschließend 20 Prozent lautet der Gesamtfaktor 1,10 × 1,20 = 1,32.
Wie kann ich das Ergebnis kontrollieren?
Berechnen Sie aus dem ermittelten ursprünglichen Grundwert erneut den erhöhten Wert. Erhalten Sie wieder den in der Aufgabe vorgegebenen vermehrten Grundwert, ist die Rechnung korrekt.
Fazit: Von mehr als 100 Prozent auf den ursprünglichen Wert zurückrechnen
Der vermehrter Grundwert ist ein wichtiger Sonderfall der Prozentrechnung und spielt insbesondere im kaufmännischen Rechnen eine große Rolle. Er entsteht immer dann, wenn ein ursprünglicher Grundwert von 100 Prozent um einen bestimmten Prozentsatz erhöht wird.
Bei einer Erhöhung um 19 Prozent entspricht der neue Wert 119 Prozent, bei 10 Prozent Erhöhung 110 Prozent und bei 25 Prozent Erhöhung 125 Prozent des ursprünglichen Grundwertes.
Ist der ursprüngliche Grundwert bekannt, können Sie den vermehrten Wert mit Gv = G × (100 + p) ÷ 100 berechnen. Einfacher lässt sich häufig mit dem Erhöhungsfaktor 1 + p/100 arbeiten.
Ist dagegen ein vermehrter Grundwert gegeben und der ursprüngliche Wert gesucht, müssen Sie auf 100 Prozent zurückrechnen. Die Formel lautet G = Gv × 100 ÷ (100 + p).
Das Beispiel mit 357 Euro brutto zeigt die Logik besonders anschaulich: Der Bruttowert entspricht bei 19 Prozent Umsatzsteuer 119 Prozent des Nettowertes. 357 Euro geteilt durch 1,19 ergeben deshalb 300 Euro netto.
Der Dreisatz führt zum gleichen Ergebnis. Sie ordnen den bekannten erhöhten Betrag dem Gesamtprozentsatz zu und rechnen anschließend auf 100 Prozent zurück.
Besonders wichtig ist die richtige Bezugsbasis. Ein Zuschlag von 20 Prozent kann nicht einfach durch einen späteren Abzug von 20 Prozent rückgängig gemacht werden, weil der zweite Prozentsatz auf einem anderen Grundwert basiert.
Auch mehrere Erhöhungen müssen nacheinander berechnet werden. Die jeweiligen Faktoren werden multipliziert. Dadurch können zwei Zuschläge von 10 und 20 Prozent insgesamt eine Erhöhung von 32 Prozent ergeben.
Die Bildungsbibel empfiehlt deshalb ein festes Vorgehen: Erhöhung erkennen, Gesamtprozentsatz aus 100 plus p bilden, Grundwert und vermehrten Wert richtig zuordnen, Formel oder Dreisatz anwenden und das Ergebnis anschließend durch eine Vorwärtsrechnung kontrollieren.
Wer diese Logik verstanden hat, kann einen vermehrter Grundwert nicht nur nach einer Formel berechnen, sondern auch Brutto-Netto-Aufgaben, Preissteigerungen, Zuschläge und komplexere kaufmännische Prozentrechnungen sicher lösen.
Weitere Informationen
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- Beim Aufgabenfuchs finden Sie weitere interaktive Übungen zur Prozentrechnung.
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- Die geltenden Umsatzsteuersätze finden Sie in § 12 UStG.